数学王国里有n座城市，每座城市有三个参数\(f\)，\(a\)，\(b\)，一个智商为\(x\)的人经过一座城市的获益\(f(x)\)是
若\(f=1\)，则\(f(x)=\sin(ax b)\)；
若\(f=2\)，则\(f(x)=e^{ax b}\)；
若\(f=3\)，则\(f(x)=ax b\)；
会发生如下四种事件：
1、有两个城市之间新建了道路；
2、有两个城市之间的道路被摧毁了；
3、城市i的三个参数被修改了；
4、求智商为x的人从u走到v的获益总和。
保证任何时候图是一个森林。
这是一道数学题
如果每座城市的\(f\)都是\(3\)你会做吗？
很简单，lct维护一下路径上的\(\sum a,\sum b\)即可。
可见我们维护出来的就是函数的一次项系数和常系数。
所以说，如果我告诉你每座城市都是一个不超过13项的多项式函数，你应该不会还不知道怎么做了吧。
但显然这\(\sin(ax b)\)啊，什么\(e^{ax b}\)啊，这都是些什么鬼。
但如果我可以把它们展开成多项式呢？
根据泰勒公式，我们有
\[f(x)=\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)*(x-x_0)^i}{i!}
\]
其中\(f^{(i)}(x)\)表示函数\(f(x)\)的\(i\)阶导。
上式是一个近似式，近似度随\(n\)的取值而不断递增。要精确到题目要求的1e-7的话\(n\)只要取12,13就可以了。
数学小课堂——关于指数函数、三角函数、复活(雾)函数的求导
指数函数的求导
\[(a^x)'=a^x*\ln a
\]
(\(\ln a\)代表取自然对数)。
特殊的，
\[(e^x)'=e^x
\]
三角函数的求导
\[(\sin x)'=\cos x
\]
\[(\cos x)'=-\sin x
\]
\[(-\sin x)'=-\cos x
\]
\[(-\cos x)'=\sin x
\]
（所以说是循环四个，周期！）
复合函数
\[[f(g(x))]'=g'(x)*f'(g(x))
\]
放到这道题里面去
\[\sin'(ax b)=a\cos(ax b)
\]
\[\sin''(ax b)=-a^2\sin(ax b)
\]
\[\sin'''(ax b)=-a^3\cos(ax b)
\]
以此类推
\[(e^{ax b})^{(n)}=a^ne^{ax b}
\]
一次函数就不说了
然后这题就做完了
code
upt 18-08-07 : 更新了一份代码，现在\(bz\)能过了虽然是在最后一版
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int n = 100005;
const int m = 16;
int n,m,fa[n],ch[2][n],rev[n],f[n],stack[n],top;
double jc[m],sum[m][n],a[n],b[n];
char type[n],s[n];
bool son(int x){
return ch[1][fa[x]]==x;
}
bool isroot(int x){
return ch[0][fa[x]]!=x&&ch[1][fa[x]]!=x;
}
void reverse(int x){
if (!x) return;
swap(ch[0][x],ch[1][x]);rev[x]^=1;
}
void pushup(int x){
for (int i=0;i
sum[i][x]=sum[i][ch[0][x]] sum[i][ch[1][x]];
if (f[x]==1){
double val=1,sin=sin(b[x]),cos=cos(b[x]);
for (int i=0;i
sum[i][x] =sin*val;val*=a[x];
sum[i 1][x] =cos*val;val*=a[x];
sum[i 2][x]-=sin*val;val*=a[x];
sum[i 3][x]-=cos*val;val*=a[x];
}
}
if (f[x]==2){
double val=exp(b[x]);sum[0][x] =val;
for (int i=1;i
val*=a[x],sum[i][x] =val;
}
if (f[x]==3)
sum[0][x] =b[x],sum[1][x] =a[x];
}
void pushdown(int x){
if (!rev[x]) return;
reverse(ch[0][x]);reverse(ch[1][x]);rev[x]=0;
}
void rotate(int x){
int y=fa[x],z=fa[y],c=son(x);
ch[c][y]=ch[c^1][x];if (ch[c][y]) fa[ch[c][y]]=y;
fa[x]=z;if (!isroot(y)) ch[son(y)][z]=x;
ch[c^1][x]=y;fa[y]=x;pushup(y);
}
void splay(int x){
stack[ top]=x;
for (int i=x;!isroot(i);i=fa[i])
stack[ top]=fa[i];
while (top) pushdown(stack[top--]);
for (int y=fa[x];!isroot(x);rotate(x),y=fa[x])
if (!isroot(y)) son(x)^son(y)?rotate(x):rotate(y);
pushup(x);
}
void access(int x){
for (int y=0;x;y=x,x=fa[x])
splay(x),ch[1][x]=y,pushup(x);
}
void makeroot(int x){
access(x);splay(x);reverse(x);
}
int findroot(int x){
access(x);splay(x);
while(ch[0][x])x=ch[0][x];
splay(x);return x;
}
void split(int x,int y){
makeroot(x);access(y);splay(y);
}
void link(int x,int y){
makeroot(x);fa[x]=y;
}
void cut(int x,int y){
split(x,y);ch[0][y]=fa[x]=0;
}
int main(){
// freopen("math.in","r",stdin);
// freopen("math.out","w",stdout);
jc[0]=1;
for (int i=1;i
jc[i]=jc[i-1]*i;
scanf("%d %d %s",&n,&m,type);
for (int i=1;i<=n; i)
scanf("%d %lf %lf",&f[i],&a[i],&b[i]);
while (m--){
int u,v,ff;
double aa,bb,x,iq,ans;
scanf("%s",s);
if (s[0]=='a'){
scanf("%d %d",&u,&v);
u; v;link(u,v);
}
if (s[0]=='d'){
scanf("%d %d",&u,&v);
u; v;cut(u,v);
}
if (s[0]=='m'){
scanf("%d %d %lf %lf",&u,&ff,&aa,&bb);
u;makeroot(u);
f[u]=ff;a[u]=aa;b[u]=bb;
pushup(u);
}
if (s[0]=='t'){
scanf("%d %d %lf",&u,&v,&iq);x=1;
u; v;
if (findroot(u)^findroot(v)) {puts("unreachable");continue;}
split(u,v);
ans=0;
for (int i=0;i
ans =sum[i][v]*x/jc[i],x*=iq;
printf("%.8e\n",ans);
}
}
return 0;
}